Transport optimal et flots de gradient, un nouveau regard sur (une partie de) la physique

Bertrand MAURY

Université Paris-Saclay

Formulé par Monge à la fin du XVIIIe siècle, le problème du transport optimal de masse a été « dormant » pendant plus d’un siècle, il a suscité un regain d’intérêt au milieu du XXe siècle suite aux travaux fondateurs de Kantorovich en URSS, et a connu un troisième essor, fulgurant, il y a une trentaine d’années, il s’agit maintenant d’un domaine à part entière de l’analyse mathématique et du calcul des variations. Nous souhaitons présenter comment cette approche, qui vise au départ à estimer le coût de transport d’une distribution de masse donnée vers une zone d’accueil de cette masse, permet de définir une distance sur l’espace des mesures de probabilité (ou plus généralement des mesures positives d’une masse totale donnée). Il est alors possible de définir sur ce nouvel espace métrique des notions a priori réservées aux espaces euclidiens ou hilbertiens, comme la notion de flot de gradient (mouvement suivant la ligne de plus grande pente d’une fonction de « paysage » donnée). Cette approche jette une nouvelle lumière sur des équations hyperclassiques, comme l’équation de la chaleur, qui peut être vue dans ce contexte comme un flot de gradient pour la fonctionnelle d’entropie. Nous présenterons des extensions plus exotiques de cette approche, en particulier dans le domaine du mouvement de cellules ou de foules, ou de certains modèle fluides (écoulements de Hele-Shaw ou équations d’Euler sans pression avec contrainte de congestion).

                                                                                                                                                                                                                                               

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